Peirce*逻辑代数中的几个符号及其它

二、包含（inclusive）意义下的逻辑加（符号为“+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）”，有时直接用“+”）的使用。Peirce这样定义逻辑加：

1、A—< A +（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号） B；

2、B—<A + （打印注释：要在这一符号右下方加一逗号）B；

3、若A—<C，且B—<C，则A + （打印注释：要在这一符号右下方加一逗号）B—<C。

符号“ +（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号） ”是Peirce在1867年引入的，而（Peirce称）Jevons在1864年，R.Grassmann在1872年，Schröder在1877年，McColl于1877年也相继独立地提出了这一用法，即不管相互间是否相斥，都使用“+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）”，把不同的项加在一起。这也就是我们常说的区别于算术加的逻辑加，或者如现代逻辑中所说的相容析取。譬如“欧洲人 +（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号） 共和党人”就表示，把所有欧洲人和共和党人算在一起，而不用想尽办法，像在算术中一样，把共和党人加上两次。但若是Boole和Venn，他们就会写成“欧洲人+ （超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）非欧洲人的共和党人”或“非共和党人的欧洲人+（超文本阅读注释：要在这一符号右下方加一逗号）共和党人”，这对于逻辑来说，显然是种不必要的麻烦 。 

三、对“1”的理解。同布尔（而论域的概念最初是由De Morgon引入的）一样，Peirce在逻辑上把“1”看作有限论域（limited universe of discourse），而不是无限的全体域（an unlimited universe）。他认为，无限域将包括逻辑上可能的所有领域。在这样一个全域中，每一全称命题，如果不是重言的，就是假的；每一特称命题，如果不是荒谬的，就是真的。我们的谈话很少涉及这种全域，我们倒是经常想起物理上可能的，或历史上存在的，或有某种虚构的世界，或是其它的有限域。这样的一种观点可认为是BPS路线的一特色之处，年仅23岁就去世的法国著名逻辑学家Herbrand正是在一方面接受并重视了这样一种认识，另一方面精心研究《数学原理》系统的基础上，在谓词逻辑等现代逻辑理论上做出了突出贡献。事实上，在逻辑史上这样一种观点支持了包括可能世界理论（模态逻辑）、模型论、逻辑语义学和元逻辑理论等在内的一系列理论。然而，与以上有限域的认识截然不同的观点确实在过去以及现在的逻辑学家中存在，最为典型的是Wittgenstein，其名言“一切真命题都是重言式”和“逻辑命题描述世界的脚手架”的提出，正是基于一种无限域的认识；他把现实世界与我们的语言（认为，我们只有一 种自然语言或人工语言）一一对应起来，认为我们对任何系统都只有一种解释，任何时候我们都不能跳出我们唯一的语言之外去言说我们自己。 

四、其它符号。 以下我们将通过定义或描述的方法列出Peirce的另一些符号：逻辑等即等值“ = （超文本阅读注释：要在这一符号下方加一逗号）”，与算术上的等号相区别，但Peirce在很多时候，干脆把它写为“ = ”，只是在逻辑上仍与符号“=（超文本阅读注释：要在这一符号下方加一逗号）”含义一样。逻辑乘（符号为“，”）定义为：

1、A，B—< A；

2、A，B—< B；

3、若C—<A且C—<B，则C—<A，B。

“有（what it is）”定义为：x—< 1，不论x是什么；而“无（nothing）”定义为：0 —< x，不论x是什么。在“A（超文本阅读注释：要在这一字母上方加一口朝上的半圆弧） —< B（打印注释：要在这一字母上方加一横线）”中，A（超文本阅读注释：要在这一符号上方加一口朝上的半圆弧）表示“一些A”，B（超文本阅读注释：要在这一符号上方加一横线）表示“非B ”。 量词符号：Π和Σ分别代表“所有”和“一些”。还有，包含以上符号的公式 x (1—y) = 0; x y = 0; x y ≠ 0;  x (1—y) ≠ 0，它们或许是我们最为熟悉的。 

3

以上所谈Peirce的些许理论，当然不能概括出他全部的理论精华；其研究广度如上文所述，而且每一领域都有着独创性或突破性的贡献。但是，历史，包括逻辑史，好象总爱玩弄一种“狡计”：天才总在历史的车轮继续开向前时才能被发现和认同，如Frege的《概念文字》和《算术基础》在发表数年之后，才被Russell和Carnap首先给予重视；Peirce的命运比Frege来得更坏，倒是他哲学上的实用主义理论在提出数年之后也被James给予了赞誉，称他为“实用主义的鼻祖”；但是，正如Russell所说，“我们通常把Peirce看作是实用主义的创始人。但是这种看法需要认真加以限制。现代的实用主义不是出自Peirce，而是出自W.James以为Peirce说过的话。”“他的实效主义（pragmaticism）和James的实用主义（pragmatism）并没有多大关系。”更何况Peirce的逻辑贡献只是在比James更晚的时间才寻到了“伯乐”。 

  Peirce的研究状况在国内尤为糟糕。哲学上，人们提到实用主义，首先会谈到James，恐怕只有读过James的人才会知道Peirce，而且多少年来，我们对Peirce的理解仍旧停留在James阶段，即《通俗科学杂志》上的两篇文章：《如何使我们的观念清楚明白》和《信念的确定》。在逻辑上，也没有更好，就是目前我们也很难在某一著作或杂志上找到一篇稍长一点的简介；与Frege相比，我们言现代逻辑，必谈Frege，却总谈不到Peirce。难道说，Peirce真的不重要吗？当然不是！国外多年来的研究以及诸多哲学家和逻辑学家（Beth、Lewis、Tarski、Copi和Hintikka等等）受益于其理论的事实已经表明了这一点。笔者认为Peirce逻辑理论中至少以下的几点应该在目前国内逻辑学界引起重视： 

首先，应明确Peirce所代表的BPS路线是属于代数方法（algebraic approach）的，完全不同于Frege所代表的公理化方法（axiomatic approach）的路线。Peirce曾专门谈到，“逻辑符号系统的目的”“仅仅且只是逻辑理论的研究（investigation），根本不是建构一个辅助推理的演算”；“为逻辑理论设计的系统应该是尽可能分析的（analytical），把推理分为尽可能多的步骤，把它们都展示于尽可能最一般的范畴之下。”因此，我们不能期望从Peirce那里找到优于或并列于Frege、Peano、Russell等人的所谓标准公理系统的演算。评价Peirce我们决不能以ＦＰＲ传统的观点和标准，而要以全面的现代逻辑观点：包括各种标准和非标准逻辑、逻辑哲学和哲学逻辑都在内的正在发展着的现代逻辑思想，立足于逻辑的核心：推理，紧紧围绕逻辑的目的：设法增进我们推理的有效性，来进行实事求是的、无偏见的重新认识或者是第一次认识。展开来说，对Peirce的正确评价，其实涉及到我们逻辑研究视角的转换和拓展；任何时候，我们都千万不要把逻辑形式系统的建构与丰富而深刻的逻辑理论研究等同起来，对于真正的逻辑理论研究，我们既不能满足于烦琐概念的诡辩游戏，同样也不能是仅仅的抽象符号的纯演算，要记着，我们所采用的 一切手段和工具都服务于我们心中永恒的逻辑目的：（逻辑）有效性的增进，（逻辑）真的追求。 转贴于 酷文网-论文下载中心 http://www.coolwen.net